Loi des sinus - Définition

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Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$ ,

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

$\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma$

Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus

Le théorème peut être utilisé

pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
$\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}$
pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé (cf. Fig. 2 ci-contre)
$\gamma = \arcsin \frac{a\sin\beta}{b}$ .

Généralisation aux géométries non euclidiennes

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

$\,\rho = 1/\sqrt{|K|}$ .

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$\,a = BC/\rho$ ,

$\,b = AC/\rho$ ,

$\,c = AB/\rho$ .

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c}$ ,

où V_OABC est le volume du tétraèdre OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}$ .

Généralisation à l'espace euclidien

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.

$\,\mathrm S_k$ la face opposée opposée au sommet $\mathrm A_k\$ ;
$\,s_k$ la surface de $\mathrm S_k\$ ;
$\,\Delta_k$ le plan dans lequel $\mathrm S_k\$ est plongée ;
$\,\theta_{ij}$ l'angle diédral $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$ .

On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets $A 1$ , etc. comme suit

$\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}$ ;
etc.