Tétraèdre - Définition et Explications

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Tétraèdre
Tétraèdrefigure en rotation
Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
4
6
4
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 3
Isométries Td
Dual Tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.)
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont...)

Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.

Le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux, fait partie des cinq polyèdres réguliers, ou solides de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn), Athènes, 428 - 427 av. J.-C., 347 - 346 av. J.-C., est un philosophe grec, contemporain de la démocratie athénienne et des sophistes,...).

Tétraèdre orthocentrique : un tétraèdre qui a ses 4 hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point (Graphie) de concours est alors l'orthocentre (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La...) du tétraèdre.

Le tétraèdre est un simplexe de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 3.

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'un tétraèdre est égal à V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}Bh si B est la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) d'une base du tétraèdre et h la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) du tétraèdre s'appuyant sur cette base.

Tétraèdre régulier

Si a est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) d'une arête :

La surface est égale à : A=\sqrt{3}a^2
La hauteur est égale à : H=\sqrt{2/3} a
Le centre du tétraèdre est situé par rapport à la base à : h=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}H
et le volume à :V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}\sqrt{2}a^3
La valeur du cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) central du tétraèdre régulier est de -1/3 ( c’est-à-dire celui que forment tous les segments qui partent du centre vers les quatre sommets. )

Le tétraèdre est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres des faces d'un tétraèdre régulier, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Patron du tétraèdre régulier
Patron du tétraèdre régulier

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique \mathfrak{S}_4

Les solides géométriques
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon,...) - Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six...) - Icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension trois, de la famille des...) - Dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.)
Les solides d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort à Syracuse en...)
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur...) - Cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c),...) de révolution - Cône de révolution - Tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) - Paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas...) de révolution
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