Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.
+ 7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7.
- 5 est constitué du signe - et de la valeur absolue 5.
La valeur absolue de (+ 7) est donc 7, la valeur absolue de (- 5) est donc 5.
Comme il est fréquent de supprimer le signe lorsque celui-ci est +, on obtient alors
D'où la définition suivante.
Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x (notée |x|) est définie par :
Nous remarquons que | x | = max( − x,x)
La valeur absolue d'un réel a les propriétés suivantes :
Ces dernières propriétés sont souvent utilisées dans la résolution des inéquations ; par exemple :
Il est utile d'interpréter l'expression |x - y| comme la distance entre les deux nombres x et y sur la droite réelle.
En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique.
La résolution d'une inéquation telle que se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9. C'est l'intervalle [3 - 9; 3 + 9] = [-6 ; 12].
La même notation s'emploie pour le module d'un complexe. Ce choix est légitime parce que les deux notions coïncident pour les complexes dont la partie imaginaire est nulle. En outre, le module de la différence de deux nombres complexes z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 est la distance euclidienne des deux points et .
Cette fonction fait correspondre à tout x, x si celui-ci est positif ou -x si celui-ci est négatif. La fonction valeur absolue est à valeurs positives, paire.
La fonction valeur absolue f définie par f(x) = |x| est continue sur et dérivable sur mais n'est pas dérivable en 0.
Sa représentation graphique est en forme de V:
Si f est une fonction,
Une valeur absolue définie sur un corps est une application qui à tout élément x de fait correspondre un nombre réel positif ou nul noté |x| de telle sorte que :
Une valeur absolue est dite ultramétrique si
On peut utiliser des valeurs absolues sur un anneau ou un groupe grâce à la valeur absolue induite sur ce groupe ou ce corps.