Mercredi 23 Avril 2025
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Mathématiques

Racine carrée - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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En mathématiques, la racine carrée d’un nombre x est un nombre dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x. Tout nombre réel positif possède une racine carré positive unique, appelée racine carrée principale et notée \sqrt{x} . Par exemple, la racine carrée principale de 9 est 3, notée \sqrt{9}=3 car 3^2 = 3 \times 3 = 9 . L'autre racine carrée de 9 (non principale) est -3.

D'après le théorème fondamental de l'algèbre, l'équation définissant la racine carrée d'un nombre quelconque possède toujours deux solutions (qui peuvent être égales entre elles). Pour un nombre réel positif, ses deux racines carrées sont la racine carrée principale et la racine carrée négative (notée -\sqrt{x} ). Les deux racines d'un nombre sont notées ensemble \pm\sqrt{x} . Les concepts de nombre imaginaire et de nombre complexe ont été développés afin de donner une solution à la racine carrée d'un nombre négatif.

La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait est toujours un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut être exprimé par une fraction. Par exemple, \sqrt{2} ne peut être écrit sous la forme m/n où m et n sont des nombres entiers. Pourtant, c'est la longueur exacte de la diagonale d'un carré de longueur 1.

Le signe \sqrt{\ } est appelé radical. Son origine serait une déformation de la lettre " r ", initiale du mot latin radix qui signifie racine. Il a été introduit en 1525 par le mathématicien Christoph Rudolff.

Définition

L’application x\mapsto x^2 est une bijection \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ dont l’inverse est noté x\mapsto \sqrt{x} . Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de ses côtés.

Mise en garde : l’aire s’exprime dans le système universel en mètre carré et les longueurs en mètre. En prenant la racine carrée d’une quantité exprimée en mètres carrés, on obtient une quantité exprimée en mètres. Les physiciens attachent une importance particulière à l’analyse des unités ; cet aspect est effacé en mathématiques. Les nombres réels sont des constantes sans unité, et la racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif.

Analyse

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y :

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} (sous la condition y\neq 0 )
\sqrt{x^2} = \left|x\right| où |x| désigne la valeur absolue de x.

La fonction racine est continue en tout réel positif x (pour y proche de x, \sqrt{y} est proche de \sqrt{x} ). De plus, elle est dérivable en tout réel strictement positif x, et n’est donc pas dérivable en x=0. En ce point, la pente de la tangente est infinie ; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale.

La fonction dérivée de x\mapsto \sqrt{x} est donnée par :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}

La fonction racine est en réalité de classe C^{\infty} sur \R_+^* .

\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}

Mieux encore, la fonction racine est développable en séries entières. Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s’obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée :

\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {C_{2n}^n \over (2n-1)2^{2n}}h^n
= 1 + \frac{1}{2}h - \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \dots

pour tout réel |h| < 1.

Remarquons au passage que

{C_{2n}^n \over (2n-1)}=2\left[C_{2n-2}^{n-1}-C_{2n-2}^n \right]

et est donc un entier naturel[réf. nécessaire].

Construction géométrique de la racine carrée

AO = 1, OB = a, OH = x
AO = 1, OB = a, OH = x

La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment 0B de longueur a de construire un segment de longueur \sqrt{a}  :

  • Construire le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1
  • Construire le cercle C de diamètre AB.
  • Construire la droite D perpendiculaire à (OB) et passant par O.
  • Nommer H le point d’intersection du cercle C et de la droite D.

Le segment OH est de longueur \sqrt{a} .

La preuve consiste à appliquer le théorème de Pythagore :

  • Au triangle rectangle HOB : OH2 + a2 = HB2
  • Au triangle rectangle ABH : HB2 = (a+1)2 - AH2
  • Au triangle rectangle AOH : AH2 = 12 + OH2

D’où OH2 + a2 = (a+1)2 - (12 + OH2), soit, après simplification OH2 = a, et donc OH = \sqrt{a} .

Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.

Les racines carrées de nombres complexes

La racine carrée sur \R est définie seulement pour les nombres réels. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donnent des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit.

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w2 = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ en une fonction continue f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z.

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de \mathbb{C} toute fonction continue f:U\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z. Cet ouvert U doit nécessairement éviter une demi-droite d’origine O. Par les propriétés des fonctions holomorphes, toute détermination d’une racine carrée est une fonction holomorphe (c'est-à-dire, développable en séries entières).

La détermination principale de la racine carrée est la fonction \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique z=r e^{i\varphi} avec -\pi < \varphi \le \pi\, , alors on pose \sqrt{z}=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}} . Cette détermination principale n’est pas continue en aucun point de la demi-droite des réels négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique, on a :

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x} {2}}

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation \sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w} devient fausse en général.

Extension des racines carrées en algèbre

Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x2=a. Un abus de langage est d’écrire x=\sqrt{a} . En toute rigueur, cela est inexact car a a deux antécédents par x\mapsto x^2 , à savoir x et -x. Toutefois, cette notation est justifiée dans la mesure où x et -x peuvent jouer des rôles symétriques.

Les racines carrées de matrices et d’opérateurs

Si A est une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B2 = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent d’avantage ces aspects.

Extraction de racines carrées

Un premier algorithme

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte.

Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre.

À chaque étape :

  • on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ;
  • soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée ;
  • on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
  • si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.


Exemple : \sqrt{152,2756}=12,34

(nota : la suite des chiffres en gras s'inscrit au fur et à mesure au dessus du nombre initial, au dessus de la paire de chiffre traité selon l'algorithme, et donne le résultat : 12,34 . La place de la virgule est significative mais n'a pas besoin d'être prise en compte pendant les calculs, il suffit de la constater à la fin)

1  2  3  4
01 52,27 56                  1                   r=0 à cette étape
x=1    01                           1                   y=(20*0+1)1 = 1 <= 01 alors que (20*0+2)* = 4 > 01 donc x = 1
____                         __                     j'inscris le 1: r=1 pour l'étape suivante
00 52                        2x                  je pose 01-01=00 et j'abaisse 52: apparait 52
x=2    00 44                        12                  y=(20*1+2)2 = 44 <= 52 alors que 20*1+3*3= 69 > 52 donc x = 2
_______                      __                     j'inscris le 2: r=12 pour l'étape suivante, 20*r = 240
08 27                     24x                 52-44 = 08, je pose 08 et j'abaisse 27: apparait 827
x=3       07 29                     123                 y=(20*12+3)*3 = 243*3 = 729 < 827
_______                   __                     j'inscris le 3: r=123 pour l'étape suivante, 20*r=2460
98 56                  246x                827-729 = 98, je pose 98 et j'abaisse 56: apparait 9856
x=4          98 56                  1234                y=(20*123+4)*4 = 9856
_______                                     j'inscris le 4: r=1234
00 --                                   9856-9856 = 0 et il n'y a plus rien à abaisser: fin de l’algorithme

Vérification :

12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34.
= 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02)
= 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
= 152,2756

Jusqu’au XIXe siècle on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formée d’un jeu de réglettes: les bâtons de Napier.

Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui précède, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100.

La méthode de Héron

La méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout historique, elle a été développée par les Babyloniens. Il fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions.


Exemple: \sqrt{2}\approx 1,4142
Prenons la valeur rapprochée u_0 = 1\, . On calcule de proche en proche:
\frac{2}{u_0} = \frac{2}{1} = 2
u_1 = \frac{1}{2}\left(u_0 + \frac{2}{u_0}\right)
u_1 = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2} = 1.5
u_2 = \frac{1}{2}\left(u_1 + \frac{2}{u_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right)= \frac{17}{12}\approx 1,4167
u_3 = \frac{1}{2}\left(u_2 + \frac{2}{u_2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right)= \frac{577}{408}\approx 1,414 216
On a ainsi obtenu la racine carrée de 2 à la précision 10 − 4.

On peut avoir une approche plus algorithmique en simplifiant cette méthode par la formule de Newton r = \sqrt{N}\approx\frac{\frac{N}{r}+r}{2}


Même exemple: \sqrt{2}\approx 1,4142
Prenons de nouveau la valeur rapprochée r = 1\, . On calcule de proche en proche:
r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1}+1}{2} \approx 1,5
r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,5}+1,5}{2} \approx 1,4167
r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,4167}+1,4167}{2} \approx 1,414216
On obtient la racine carrée de 2 à la précision 10 − 4.
En appliquant cette formule on pourra écrire en langage basic:
N = 2 /* Nombre dont on cherche la racine carrée
r = 1 /* r = valeur rapprochée = 1
DO /* Début de la boucle
r = (r + (N / r)) / 2 /* Approximation
PRINT "Racine de ";N;" ~= ";r /* Affichage du résultat
LOOP /* Fin de la boucle

Calcul par la méthode du goutte à goutte

Les racines carrées, approximations entières

Les concepteurs de présentations de jeux vidéos ont parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par:

CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. 15 16 17 .. 24 25 26 27
RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 .. 3 4 4 .. 4 5 5 5

Une observation des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément,

  • le 0 est répété 1 fois,
  • le 1, 3 fois
  • le 2, 5 fois
  • le 3, 7 fois
  • le 4, 9 fois

Le nombre de fois que l’entier n est répété est le n-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante:

(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Formulaire

L’identité 2 = \sqrt{2+2} implique 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}} , et par itérations successives:

2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

Pour des raisons analogues, on obtient:

3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}} ; 4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}} ; ...

Si r est un entier strictement supérieur à 1,

r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}

Plus généralement, si p étant un nombre réel supérieur ou égal à 1,

\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}

Si p est égal à 1, on obtient le nombre d'or:

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}} .

Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition

(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,

et construisit le produit n(n + p) en fixant p = 2

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}

Il substitua le terme (n + 3)

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}

Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant n par 1 sans se préoccupper du passage à la limite et obtint la jolie formule:

3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}

En fixant n et p à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme:

4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}

En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini:

n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}

permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées.

En particulier, en fixant n = 0 et toujours sans se préoccuper du passage à la limite

2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}}}}

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées:

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) , où k est le nombre de racines carrées emboitées

Ou encore:

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Racines carrées des entiers de un à vingt

\sqrt {1} = 1
\sqrt {2} ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
\sqrt {3} ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
\sqrt {4} = 2
\sqrt {5} ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
\sqrt {6} ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
\sqrt {7} ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
\sqrt {8} ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
\sqrt {9} = 3
\sqrt {10} ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\sqrt {11} ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\sqrt {12} ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\sqrt {13} ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\sqrt {14} ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\sqrt {15} ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\sqrt {16} = 4
\sqrt {17} ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\sqrt {18} ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\sqrt {19} ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\sqrt {20} ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Nous remarquons, que seuls les carrés parfaits admettent pour racines carrées des rationnels.

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Découverte d'une nouvelle forme d'intrication quantique, une première en 20 ans ⚛️
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Le régime cétogène montre des surprises sur le cholestérol 🧐
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Un tango observationnel révèle une Super-Terre 🔭
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Cette expérience montre que la graisse brune augmente fortement la longévité 🕒
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L'Univers comme jamais vu auparavant: les révélations du fond diffus cosmologique 🔭
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C'est sérieux: de la bave pourrait révolutionner la conception de bioplastiques 🪱
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Découverte: le trou noir central de notre galaxie pourrait anéantir la vie sur Terre 💥
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Etude scientifique: ces aliments nous font vieillir 🍽️
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Pourquoi notre visage est-il plus petit et délicat que celui des Néandertaliens ? 🤔
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A 18 ans, il découvre 1,5 million d'objets célestes inconnus avec son algorithme d'IA 🌟
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Que sont ces objets rouges et aplatis, qualifiés d'UFOs par les astronomes ? 🔭
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Une méthode simple pour améliorer les performances en mathématiques 🧮
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Que sont ces étranges éclairs rouges photographiés au-dessus de l'Himalaya ? ⚡
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Nous descendons non pas d'un, mais d'au moins deux groupes anciens 🧬
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Un nuage géant de 160 000 soleils découvert dans notre Voie lactée 🔭
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Connaissez-vous le rat-kangourou musqué, ce marsupial à la démarche unique ? 🦘
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Comment une poignée de traders a fait s'effondrer deux cryptomonnaies 📉
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Première cartographie titanesque d'un cerveau, avec 500 millions de connexions neuronales 🧠
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Cette double supernovae proche est inexorable, voici la date... qui va vous surprendre 💥
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Un océan phosphorescent: comment s'explique ce phénomène rare et féerique ? 🌊
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L'ELT pourrait-il découvrir une vie extraterrestre dès 2028 ? 🔭
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Cet édulcorant tue les superbactéries résistantes 🍬
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Les neutrinos, la clé de la gravité quantique ? 👀
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En Italie, les éruptions explosives de ce volcan déjouent les pronostics 🌋
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Que sont ces spaghettis au cœur de notre galaxie ? 🔭
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Des scientifiques ont créé une "bombe intelligente" contre le cancer 🎯
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