Fonction zeta - Définition

La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.

Parmi les autres fonctions zeta, on peut citer :

• La fonction zeta d'Artin-Mazur
• La fonction zeta de Dedekind
• La fonction zeta de Hasse-Weil
• La fonction zeta d'Hurwitz
• La fonction zeta d'Ihara
• La fonction zeta d'Igusa
• La fonction zeta de Lefschetz
• La fonction zeta de Lerch
• La fonction zeta locale
• La fonction zeta de Selberg
• La fonction zeta de Weierstrass

Beaucoup de ces fonctions zeta sont liées et impliquées dans des relations importantes. Il est probable qu'il existe une théorie générale qui pourrait unir les théories des fonctions zeta et celle des séries de Dirichlet, mais sa nature n'est pas connue pour le moment.

Le théorème de Taniyama-Shimura est l'une des avancées les plus récentes vers une telle théorie. Parmi les conjectures apparentées, on peut citer la conjecture d'Artin, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et l'hypothèse de Riemann généralisée. La théorie des fonctions L (une généralisation des fonctions zeta) devrait à terme contenir celle des fonctions zeta. La classe de Selberg est une tentative de définition axiomatique des fonctions zeta.

Il ne faut pas confondre les fonctions zeta avec les fonctions eta, dont le nom est similaire mais les propriétés différentes.