Application identité - Définition
En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :
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Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale de l'espace produit X×X.
Pour X=R, l'ensemble des nombres réels, le graphe est la première bissectrice du plan euclidien.
Notations
L'application identité sur X est notée id, idX , Id ou encore IdX .
Elle est parfois notée 1X , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.
Propriétés remarquables
Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :
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En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même.
L'application identité est une bijection de X dans lui-même.
L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide, dont l'application identité est l'élément neutre.
En topologie
L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E,T) dans (E,T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'.