Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :
Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R3 engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.
La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :
Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.
Pour R-r positif ou nul, on a :
Les théorème de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r) :
Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :
Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S1 par Z/2Z :
Un isomorphe naturel est décrit comme suit :
En particulier, bru(Q)=rubQr-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0) ; ...
En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique Tn, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :
Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tn est une variété différentielle (compacte et connexe de dimension n) ; l'atlas maximal correspondant ne dé pend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.
Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tn=E/G se présente naturellement comme une variété plate.
Le groupe fondamental de Tn est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zn.
Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.