Identités remarquables - Définition et Explications

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En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des réels, dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des nombres complexes, ou dans des anneaux de polynômes. Elles servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions.

On peut citer les plus connues, valables dans un anneau commutatif unitaire A, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple (a,b) et pour tout entier n :

  • Trinôme carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la...) parfait : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,
  • Trinôme carré parfait : (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,
  • Différence de carrés : (a-b)(a+b) = a^2 - b^2\,
  • Quadrinôme cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le...) parfait : (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,
  • Quadrinôme cube parfait : (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,
  • a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,
  • a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,
  • (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4\,

Qui se généralisent en :

  • (a+b)^n = \sum_{i=0}^{n}{n \choose i} a^ib^{n-i} (formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme ...) de Newton)
  • (a-b)\sum_{i=0}^{n}a^ib^{n-i} = a^{n+1} - b^{n+1}
  • 4ab = (a + b)^2 - ( a - b)^2\,
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