En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...) constituée de groupes de segments parallèles opposés aligné dans chacune des dimensions de l'espace, en angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) droit les uns les autres.
Un hypercube (Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et...) n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme "polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone...) de mesure" (qui est apparemment dû à Coxeter; voir Coxeter 1973) est aussi utilisé mais il est rare.
Si E est un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) n muni d'une base orthonormale (Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.), on peut définir un hypercube unité comme l'hypercube dont les 2n points dans Rn avec des coordonnées égales à 0 ou 1. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.
Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :
...
En résumé, la construction d'un cube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.
Les hypercubes sont une des quelques familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) quelconque de dimensions. Le polytope dual d'un hypercube est appelé un polytope croisé. le 1-squelette d'un hypercube est un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) hypercube.
Une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un “hypercube”, “n-cube” ou “polytope mesure”. Le tesseract est l'hypercube quadri-dimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier (En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en...). C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.
L’hypercube à quatre dimensions est également appelé tesseract en anglais, d'après Charles Howard Hinton.
D'après la formule de Gardner, on peut retrouver les propriétés du tesseract en développant (2x + 1)4 :
Donc l'hypercube est composé de :
L'intersection d'un hypercube avec un hyperplan (En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans...) donne l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) cartésienne :
Avec les quatre coordonnées de l'hyperespace de dimension 4, à savoir x, y, z, et w. En réalité, un hyperplan en quatre dimensions peut être comparé à l'espace tridimensionnel, c’est-à-dire que l'intersection d'un hypercube avec un plan est en fait une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) 3D de cet hypercube.
Les faces d'un hypercube sont :
Un hypercube à n dimensions possède :
Un hypercube de dimension n possède 2n "cotés" (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités; un carré 2-dimensionnel a quatre bords; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules). Le nombre de sommets (points) d'un hypercube est 2n (un cube a 23 sommets, par exemple).
Le nombre d'hypercubes m-dimensionnels (comme désigné sous le nom m-cube ci-dessus) sur la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux...) d'un n-cube est
Par exemple, la frontière d'un 4-cube contient 8 cubes, 24 carrés, 32 segments et 16 sommets.
n-cube | Graphe | Noms Symbole de Schläfli Coxeter-Dynkin |
Sommets (0-faces) |
Arêtes (1-faces) |
Faces (2-faces) |
Cellules (3-faces) |
(4-faces) | (5-faces) | (6-faces) | (7-faces) | (8-faces) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0-cube | Point - |
1 | |||||||||
1-cube | Digone {} ou {2} |
2 | 1 | ||||||||
2-cube | Carré Tétragone {4} |
4 | 4 | 1 | |||||||
3-cube | Cube Hexaèdre {4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | ||||||
4-cube | Tesseract octachore {4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | |||||
5-cube | Penteract déca-5-tope {4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | ||||
6-cube | Hexeract dodéca-6-tope {4,3,3,3,3} |
64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | |||
7-cube | Hepteract tétradéca-7-tope {4,3,3,3,3,3} |
128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | ||
8-cube | Octeract hexadéca-8-tope {4,3,3,3,3,3,3} |
256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | |
9-cube | Ennéneract octadéca-9-tope {4,3,3,3,3,3,3,3} |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Basé sur nos observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) de la manière dont les objets 1, 2 et 3 dimensionnels peuvent tourner, nous pouvons émettre une hypothèse sur la manière dont tournent les objets à n dimensions. Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) 3-dimensionnel peut tourner de deux manières différentes sur 3 axes. Par la première, il peut tourner sur une arête. Un cube (par exemple) peut tourner sur un arête entière, ce qui signifie que tout change (Tout change (Everything changes) est le premier episode de la série anglaise de science...) de position sauf cette arête. Par la deuxième, il peut tourner sur un point unique. Il est possible de faire tourner un cube autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) d'un point unique, sans que ce point ne change de position. De manière similaire, un objet 2-dimensionnel peut tourner sur un point unique, mais c'est la seule manière dont il peut tourner. Donc, un cube 3-dimensionnel peut tourner sur sa 1ère dimension ou la 0ème dimension, et un plan 2-dimensionnel peut seulement tourner sur la 0ème dimension. Ainsi, qu'en est-il de la première dimension ? Selon notre théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...), il pourrait tourner autour de la dimension -1, dimension négative qui est le néant ou la non-existence, ce qui a un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), parcequ'il ne peut pas tourner. Ceci conforte notre hypothèse depuis la première jusqu'aux trois dimensions, donc, nous pouvons par conséquent supposer que cela s'appliquera pour toutes les autres dimensions. Ceci signifie qu'un hypercube 4-dimensionnel peut tourner autour d'une face entière, qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un cube entier, etc...
Cube, Cube²: Hypercube et Cube Zero sont des films de science-fiction dans lequel des personnes sont enfermées dans un labyrinthe de cubes temporels.