Hypercube - Définition et Explications

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Une projection d'un hypercube (dans une image bi-dimensionnelle)
Une projection d'un hypercube (dans une image bi-dimensionnelle)

En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont...) constituée de groupes de segments parallèles opposés aligné dans chacune des dimensions de l'espace, en angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit les uns les autres.

Un hypercube (En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés aligné dans chacune des dimensions de...) n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme "polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé pour une large variété de concepts mathématiques reliés...) de mesure" (qui est apparemment dû à Coxeter; voir Coxeter 1973) est aussi utilisé mais il est rare.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Si E est un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) n muni d'une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.), on peut définir un hypercube unité comme l'hypercube dont les 2n points dans Rn avec des coordonnées égales à 0 ou 1. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.

Représenter un hypercube de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) n

Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

  • Dimension 1 : Un point (Graphie) est un hypercube de dimension zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...). Si on déplace ce point d'une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension un

Image:Hypercube-dim1.PNG

  • Dimension 2 : Si on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) à partir de lui-même; il balaie un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré...) bi-dimensionnel.

Image:Hypercube-dim2.PNG

  • Dimension 3 : Si on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant...) tri-dimensionnel.

Image:Hypercube-dim3.PNG

  • Dimension 4 : Si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadri-dimensionnel (un tesseract unité).

Image:Hypercube-dim4.PNG ...

  • Dimension n > 3 : On trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) un hypercube de dimension n-1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux

En résumé, la construction d'un cube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes
Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes

Les hypercubes sont une des quelques familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) quelconque de dimensions. Le polytope dual d'un hypercube est appelé un polytope croisé. le 1-squelette d'un hypercube est un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) hypercube.

Une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un “hypercube”, “n-cube” ou “polytope mesure”. Le tesseract est l'hypercube quadri-dimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

4 dimensions

L’hypercube à quatre dimensions est également appelé tesseract en anglais, d'après Charles Howard Hinton.

D'après la formule de Gardner, on peut retrouver les propriétés du tesseract en développant (2x + 1)4 :

(2x + 1)4 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

Donc l'hypercube est composé de :

  • 16 sommets ;
  • 32 arêtes ;
  • 8 faces cubiques (soit 24 faces planes) : chacune des faces du tesseract est un cube.

L'intersection d'un hypercube avec un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) donne l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) cartésienne :

ax + by + cz + dw = e

Avec les quatre coordonnées de l'hyperespace de dimension 4, à savoir x, y, z, et w. En réalité, un hyperplan en quatre dimensions peut être comparé à l'espace tridimensionnel, c’est-à-dire que l'intersection d'un hypercube avec un plan est en fait une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane...) 3D de cet hypercube.

  • Volume : c4, avec c le côté de l'hypercube.
  • Aire totale : 24c2

Les faces d'un hypercube sont :

  • Avant / Arrière
  • Gauche / Droite
  • Haut / Bas
  • Ana / Kata

n dimensions

Un hypercube à n dimensions possède :

  • Vn = 2n sommets ;
  • Sn = 2 × Sn-1 + Vn-1 arêtes ; (ou n × 2n-1)
  • Fn = 2 × Fn-1 + Sn-1 faces planes ;
  • HFn = 2 × HFn-1 + Fn-1 hyperfaces (cubes ou faces cubiques) ;
  • Il en va de même pour les hyperfaces en 5 dimensions (faces hypercubiques) etc.
  • De manière générale, le nombre de faces à k dimensions d'un hypercube à n dimension est égal à

f_k(H_n) = {n \choose k}2^{n-k}

  • Le nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total...) de faces d'un hypercube est de 3n − 1
  • Volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) = cn avec c le côté de l'hypercube
  • Aire totale = Fnc2 avec Fn le nombre de faces

Éléments

Un hypercube de dimension n possède 2n "cotés" (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités; un carré 2-dimensionnel a quatre bords; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules). Le nombre de sommets (points) d'un hypercube est 2n (un cube a 23 sommets, par exemple).

Le nombre d'hypercubes m-dimensionnels (comme désigné sous le nom m-cube ci-dessus) sur la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les...) d'un n-cube est

2^{n-m}{n \choose m}.

Par exemple, la frontière d'un 4-cube contient 8 cubes, 24 carrés, 32 segments et 16 sommets.

Éléments d'hypercube
n-cube Graphe Noms
Symbole de Schläfli
Coxeter-Dynkin
Sommets
(0-faces)
Arêtes
(1-faces)
Faces
(2-faces)
Cellules
(3-faces)
(4-faces) (5-faces) (6-faces) (7-faces) (8-faces)
0-cube Point
-
1                
1-cube Digone
{} ou {2}
Image:CDW_ring.png
2 1              
2-cube Carré
Tétragone
{4}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.png
4 4 1            
3-cube   Cube
Hexaèdre
{4,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
8 12 6 1          
4-cube Tesseract
octachore
{4,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
16 32 24 8 1        
5-cube   Penteract
déca-5-tope
{4,3,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
32 80 80 40 10 1      
6-cube   Hexeract
dodéca-6-tope
{4,3,3,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
64 192 240 160 60 12 1    
7-cube   Hepteract
tétradéca-7-tope
{4,3,3,3,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
128 448 672 560 280 84 14 1  
8-cube   Octeract
hexadéca-8-tope
{4,3,3,3,3,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9-cube   Ennéneract
octadéca-9-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3}
Image:CDW_ring.pngImage:CDW_4.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.pngImage:CDW_3b.pngImage:CDW_dot.png
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18

Rotation d'un n-cube

Rotation d'un hypercube.
Rotation d'un hypercube.

Basé sur nos observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir...) de la manière dont les objets 1, 2 et 3 dimensionnels peuvent tourner, nous pouvons émettre une hypothèse sur la manière dont tournent les objets à n dimensions. Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...) 3-dimensionnel peut tourner de deux manières différentes sur 3 axes. Par la première, il peut tourner sur une arête. Un cube (par exemple) peut tourner sur un arête entière, ce qui signifie que tout change (Tout change (Everything changes) est le premier episode de la série anglaise de science fiction Torchwood se déroulant à Cardiff.) de position sauf cette arête. Par la deuxième, il peut tourner sur un point unique. Il est possible de faire tourner un cube autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5...) d'un point unique, sans que ce point ne change de position. De manière similaire, un objet 2-dimensionnel peut tourner sur un point unique, mais c'est la seule manière dont il peut tourner. Donc, un cube 3-dimensionnel peut tourner sur sa 1ère dimension ou la 0ème dimension, et un plan 2-dimensionnel peut seulement tourner sur la 0ème dimension. Ainsi, qu'en est-il de la première dimension ? Selon notre théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...), il pourrait tourner autour de la dimension -1, dimension négative qui est le néant ou la non-existence, ce qui a un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...), parcequ'il ne peut pas tourner. Ceci conforte notre hypothèse depuis la première jusqu'aux trois dimensions, donc, nous pouvons par conséquent supposer que cela s'appliquera pour toutes les autres dimensions. Ceci signifie qu'un hypercube 4-dimensionnel peut tourner autour d'une face entière, qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un cube entier, etc...

Les hypercubes en science-fiction (La science-fiction, prononcée /sjɑ̃s.fik.sjɔ̃/ (abrégé en SF), est un genre narratif (principalement littéraire et cinématographique) structuré par des hypothèses sur...)

Cube, Cube²: Hypercube et Cube Zero sont des films de science-fiction dans lequel des personnes sont enfermées dans un labyrinthe de cubes temporels.

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