Harmonique sphérique - Définition

On dit qu'une fonction est harmonique si son laplacien est nul.

Les polynômes harmoniques P(x,y,z), de degré l sont au nombre de 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques ( ) à l'aide de (2l+1)combinaisons  :

, avec

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S² .

Définition : les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynôme homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation ( groupe de symétrie orthogonal SO3) et que le laplacien entre en jeu :

• en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
• en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique),gravimétrie ...
• en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie) et , en cristallographie pour la texture),
• en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)
• etc.

Base orthonormale des harmoniques sphériques

parmi les (2l+1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère S² munie de la mesure

,

soit le produit scalaire ( hermitien en fait):

= \frac{1}{4\pi} \int \int_{S^2} f_1^{*} f_2 sin \theta d\theta d\phi" >

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres ^[1] :

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, J² :

• elles sont fonctions propres de l'opérateur  :

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement , où les angles sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :

• 

• 

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

,

où Pl(x) est le polynôme de Legendre de degré l.

On obtient ensuite :

où est opérateur d' "échelle montante".

Pour m négatif ,

• Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

• Souvent cette base se note |lm> :

toute fonction sur la sphère S² pourra donc s'écrire :

" > ( en convention de sommation d'Einstein)

les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des |lm> ( on dit parfois coefficients de fourier généralisés).

• en chimie ou en géophysique, il arrive qu on préfère utiliser les harmoniques sphériques "réelles" et des coefficients de fourier réels. Il n est pas difficile de s y adapter.

Recherche des harmoniques sphériques

On cherche les fonctions sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle ordinaire du second ordre pour la fonction P_l,m(cosθ) :

On fait le changement de variable : qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

Les fonctions propres P_l,m(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre P_l(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :

On a la formule génératrice d' Olinde Rodrigues :

On construit alors les fonctions propres P_l,m(x) par la formule :

soit explicitement :

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions P_l,m(x) pour , car il existe une relation simple entre P_l,m(x) et  :

Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S₂ au sens où :

• elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

Dans cette formule, représente l'angle solide élémentaire :

• toute fonction suffisamment régulière admet un développement en série :

où les coefficients complexes a_l,m se calculent par :

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S₃. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

Propriétés

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue ƒ(θ,φ) se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

où l' et m sont des indices entiers, C_l^m est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Y_l^m est la partie réelle d'une fonction complexe Y_l^m

Y_l^m est appelée " fonction associée de Legendre " et est définie par

où i est l'imaginaire et P_l^m est le polynôme de Legendre :

On a donc

On a par exemple :

• (Y₀⁰ est isotrope) ;
•  ;
•  ;
•  ;

Les fonctions Y_l^m(θ,φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y₀⁰ est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Si l'on utilise la représentation sphérique

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Y_l^m est positif, les creux aux parties où Y_l^m est négatif. Lorsque θ et φ décrivent l'intervalle [0;2π[, Y_l^m(θ,φ) s'annule selon l cercles :

• m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
• l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre l est appelé le " degré ", m est appelé l'" ordre azimutal ". Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique Y₃² :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques

les parties en blanc sont positives, en bleu négatives

Représentation graphique

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

• en coordonnées cartésiennes : y = Y_l(θ) ;
• en coordonnées polaires :
  avec r₁ < r₀, utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre O et de rayon r₀ lorsque la fonction s'annule ;
• en coordonnées polaires : r = | Y_l(θ) | ²
  utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

Trois premières harmoniques circulaires

	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)
Y1
Y2
Y3

Représentations polaires, tracé exact

Harmoniques circulaires

Définition

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

Y₀ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires r = Y₀(θ) est donc un cercle de rayon r₀.

Y_l est une fonction invariante par une rotation d'un angle de 1/(l+1) tour, c'est-à-dire que

on dit que Y_l admet une symétrie d'ordre l+1.

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_l de la fonction cosinus :

Y_l(θ) = P_l(cosθ)

Les polynômes P_l utilisés sont les polynômes de Legendre¹ :

(formule de Rodrigues, mathématicien français)

On obtient :

• P₀(cosθ) = 1 (fonction isotrope) ;
• P₁(cosθ) = cosθ ;
•  ;
•  ;

Harmoniques sphériques généralisées

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ,θ,φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ,θ,φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

où C_l^mn est une constante. La fonction Y_l^mn s'écrit :

Le polynôme P_l^mn est le polynôme de Legendre généralisé

Quand X décrit l'intervalle [-1;1], cette fonction P_l^mn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y₀⁰⁰(ψ,θ,φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

et en particulier

On a de manière générale :

Par exemple pour l = 1 :

m	n
	-1	0	+1
-1
0		cosθ
1

Pour l = 2 :

m	n
	-2	-1	0	+1	+2
-2
-1
0
1
2