Géométrie affine - Définition et Explications

La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) et d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) lui sont toutefois étrangères : elles dépendent de structures supplémentaires, traitées dans le cadre de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation...).

Dissocier les notions propres à la géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection....) est récent dans l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à...). La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle actuelle d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...) présuppose la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.), appelé l'espace directeur. Deux points d'un espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) peuvent se soustraire pour donner un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) de l'espace directeur.

Parmi les résultats remarquables de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) affine, on peut citer :

  • L'associtivité du barycentre ;
  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) du toit ;
  • Le théorème de Ceva ;
  • ...

Un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de résultats de la géométrie affine s'étendent dans le cadre de la géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et...). Le complémentaire d'un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) projectif dans un espace projectif apparait naturellement comme un espace affine.

Le groupe de transformations d'un espace affine est appelé groupe affine. Il est engendré par les dilatations, les transvections, et les translations. Certaines transformations, comme les inversions, ne préservent pas les propriétés de la géométrie affine.

En géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une...), la donnée d'une connexion plate équivaut à la donnée d'un atlas dont les applications de changement de cartes sont des transformations affines.


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