Fonction homographique - Définition
On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif
où a, b, c et d sont des éléments de
Cette fonction détermine une bijection de
Sa réciproque est
Le nom provient de ce que si on rajoute à
Dans le cas réel ou complexe, Sa dérivée est
où
Sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une translation et une affinité.
Dans le plan complexe
A chaque fonction homographique complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).
On peut distinguer les cas suivants
- si c = 0 alors F est une similitude directe
- si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes
La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts non alignés.
Propriété géométriques des coniques
Une fonction homographique peut servir à tracer une conique. Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y=f(x) avec les paramètres (a, b c et d) judicieusement choisis de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple: Construction d'une parabole tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple: Construction d'un cercle point par point.
Propriétés algébriques
Les fonctions homographiques se composent comme des matrices : si
Plus précisément on a ainsi une représentation du groupe
Voir plus généralement la page sur les homographies.
