Fonction homographique - Définition

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On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif $\mathbb{K}$ dans lui-même définie par

$f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}$

où a, b, c et d sont des éléments de $\mathbb{K}$ , c étant non nul et (a , b) étant non proportionnel à (c , d)

Cette fonction détermine une bijection de $\mathbb{K} -\left \{ -\frac{d}{c} \right \}$ dans $\mathbb{K} -\left \{ \frac{a}{c} \right \}$ .

Sa réciproque est

$f^{-1}(x) = - \frac{dx - b}{cx - a}$

Le nom provient de ce que si on rajoute à $\mathbb{K}$ un point à l'infini $\omega\,$ de sorte à en faire une droite projective, et si l'on prolonge $f\,$ par $f(-d/c)=\omega\,$ , et $f(\omega)=a/c\,$ , on obtient une homographie de $\hat \mathbb K\,$ . Et les homographies (plus celles du plan que celles de la droite il est vrai) transforment un graphique en un graphique ayant des homologies avec celui de départ...

Dans le cas réel ou complexe, Sa dérivée est

$f'(x) = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} }{(cx+d)^2}$

où $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ est le déterminant de $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

Sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une translation et une affinité.

Dans le plan complexe

A chaque fonction homographique complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

On peut distinguer les cas suivants

si c = 0 alors F est une similitude directe
si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes

La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts non alignés.

Propriété géométriques des coniques

Une fonction homographique peut servir à tracer une conique. Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y=f(x) avec les paramètres (a, b c et d) judicieusement choisis de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple: Construction d'une parabole tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple: Construction d'un cercle point par point.

Propriétés algébriques

Les fonctions homographiques se composent comme des matrices : si $f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}, g(x)=\frac{a' x+b'}{c'x + d'}$ alors $f(g(x))=\frac{a''x+b''}{c''x + d''}$ où $\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a'' & b'' \\ c'' & d''\end{bmatrix}$ .

Plus précisément on a ainsi une représentation du groupe $GL_2( \mathbb{K})$ dans celui des fonctions homographiques (à un problème de définition près au point $-d/c\,$ ), dont le noyau est le centre de $GL_2( \mathbb{K})$ .