Différences divisées - Définition
En mathématiques, les différences divisées sont une méthode récursive de calculs de divisions.
Définition
Étant donné n points
les différences divisées sont définies de la manière suivante
![[y_{\nu}] := y_{\nu} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/7/7e259a30c728c3a3a5d9be60a9adaa67_50e240a80df334e53967855b1fa101ca.png){kind=small}
![[y_{\nu},\ldots,y_{\nu+j}] := \frac{[y_{\nu+1},\ldots y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/4ccb54fb99305e36f031c593668fa907_25df3a7fb58ca889a4204fe742cc3354.png)
Notes
Si les points sont donnés à l'aide d'une fonction f(x)
que l'on écrit généralement
![f[x_{\nu}] := f(x_{\nu}) \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/2/202caee0efb35876a1210b6470570559_f1691b1f826ada4d66bbec03d8de710b.png){kind=small}
![f[x_{\nu},\ldots,x_{\nu+j}] := \frac{f[x_{\nu+1},\ldots x_{\nu+j}] - f[x_{\nu},\ldots x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/f/f37b3359dfc720e3fbaae735ed6f3455_530bfa43ee34ac572357d914840f32c1.png)
Exemple
Les premières itérations donnent :
- Ordre 0 :[y0] = y0
- Ordre 1 :
![[y_0,y_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/8/8e22437cf714b7f746e56ecf702834a2_fdc7996ece795aa5ccfacc3b42a8f7bf.png)
- Ordre 2 :
![[y_0,y_1,y_2] = \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/6904f3d542741d4cd61bc719c1262747_ccd549c7684227e18242598425ef4b44.png)
Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être décrites de cette manière
![\begin{matrix} x_0 & y_0 = [y_0] & & & \\ & & [y_0,y_1] & & \\ x_1 & y_1 = [y_1] & & [y_0,y_1,y_2] & \\ & & [y_1,y_2] & & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\ x_2 & y_2 = [y_2] & & [y_1,y_2,y_3] & \\ & & [y_2,y_3] & & \\ x_3 & y_3 = [y_3] & & & \\ \end{matrix}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/36962f47338444c859795fffde59efb4_2400304c469566d3d901c14ab8db012e.png)
Formulation de Peano
Application
La méthode des différences divisées est utilisée dans le calcul des coefficients dans une interpolation newtonienne (méthode particulière d'une interpolation polynomiale).
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