Calcul infinitésimal
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Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:

  • Le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) est la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) qui traite des taux de variation et fait intervenir la méthode de différentiation. En terme de fonctions mathématiques, la vitesse (On distingue :), l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la modification affectant la...), et les pentes des courbes en un point (Graphie) donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune.
  • Le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.), qui développe l'idée d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) d'une fonction et inclut des notions connexes comme le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.).

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:). Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Historique

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure...). La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent...). Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne (La Grande-Bretagne (en anglais Great Britain) est une île bordant la côte nord-ouest de l'Europe continentale. Elle représente la majorité du territoire du Royaume-Uni. En...) pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) conservées jusqu'au début du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération...) lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier. Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment.

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Kowa Seki, un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant son travail ne fut pas connu en Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré a varié au cours de...) à cette époque suite au manque de contacts avec l'Extrême-Orient (L'Extrême-Orient désigne la partie orientale de l'Asie. Il comprend :). (lien)

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du " problème de la tangente ".

Calcul différentiel

Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...). Par exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en terme d'équations différentielles pour décrire les systèmes oscillants.

La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...) d'une fonction permet de trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui permet de trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un très bref aperçu des nombreuses applications du calcul infinitésimal dans des problèmes qui à première vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) ne sont pas formulés en ces termes.

Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral

Le calcul intégral étudie les méthodes permettant de trouver l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur...) d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) d'un fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...) ainsi que la surface et le volume de solides comme la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette...) ou le cône.

Bases

Les bases conceptuelles du calcul infinitésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites infinies, séries infinies et continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à...). Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire (L'algèbre élémentaire est la forme d'algèbre la plus simple enseignée aux élèves du secondaire qui ont des mathématiques une connaissance n'allant pas au-delà des concepts de l'arithmétique. Tandis qu'en arithmétique on...) et l'induction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...). La version moderne du calcul infinitésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul infinitésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...).

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont, dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette " découverte " par Newton et Leibniz qui est à l'origine de l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette transformation s'effectue rapidement, plus la matière résultante se...) des résultats analytiques. Ce lien nous permet de retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle a partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème fondamental nous donne aussi une méthode pour calculer beaucoup d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) réellement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) différentielle est une équation qui lie une fonction a ses dérivées. Les équations différentielles sont fondamentales en science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances,...).

Applications

Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan (xOy) un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) x. Lorsqu'on fait subir au point M un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) très faible, la surface va changer et on peut écrire que S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy, et on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy.

Une simple application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre...) où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx.dy est négligeable par rapport aux autres grandeurs

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) dx.dy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On écrit donc:

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}
\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire...un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver...) de deux vecteurs:

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM}\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du...) au gradient.

(y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=0 pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) fondamental du calcul infinitésimal.

Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les...).

Bibliographie

  • Robert A. Adams, Calculus: A complete course. ISBN 0-201-39607-6 (1999) (en)
  • Spivak, Michael, " Calculus " Publish or Perish publishing. ISBN 0914098896 (Sept 1994) (en)
  • Cliff Pickover. (2003) ISBN 0-471-26987-5 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. (en)
  • Silvanus P. Thompson and Martin Gardner, Calculus Made Easy. ISBN 0312185480 (1998) (en)
  • Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, 1986. (en)
  • Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America, The Association, Stony Brook, NY. 1988. ED 300 252. (en)
  • René Guénon, Les principes du calcul infinitésimal, Gallimard.
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