Bissectrice - Définition

La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.

Théorème de la bissectrice

Soit un angle et sa bissectrice . Tout point de vérifie :
.

C'est-à-dire que tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant à ses côtés.

Démonstration

Démonstration du théorème de la bissectrice

Soient et les projetés orthogonaux de respectivement sur et sur . On sait que et . Les triangles et sont des triangles rectangles respectivement en et . D'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on en déduit que

    et    

Puisque est la bissectrice de , on a .

On en déduit que d'où le théorème.

 

Ce théorème peut également s'interpréter comme le fait que tout point de la bissectrice est le centre d'un cercle tangent simultanément aux deux droites. Réciproquement tout cercle tangent aux deux droites a son centre sur une des bissectrices.

Bissectrices d'un couple de droites

Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des secteurs angulaires définis par les deux droites. Ce sont deux droites perpendiculaires. Elles sont également les deux axes de symétrie de la figure formée par les deux droites.

Bissectrices d'un triangle

On appelle bissectrices d'un triangle les trois bissectrices des trois angles de ce triangle.

Ces bissectrices sont concourantes. Leur point commun est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Remarque: Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.

Construction géométrique

Animation montrant les étapes de la construction

Voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.

1. Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
2. Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
3. Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.

Bissectrices du plan

Lorsque le plan est muni d'un repère direct , on appelle

• première bissectrice du plan la bissectrice de l'angle orienté en O ;
• deuxième bissectrice du plan la bissectrice de l'angle en O.