Mathématiques - Définition

Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.

Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, pouvant porter les noms de théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de "la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature".

Étymologie

Dans les langues européennes, le terme mathématique (Grec: μαθηματικ?) vient du grec μ?θημα mathêma qui signifie " science, connaissance, apprentissage ", et de μαθηματικ?ς mathematikos : " qui aime apprendre ". La science est couramment désignée par les chercheurs et les enseignants sous le pluriel (les mathématiques, mathematics, etc.) ; cet usage remonte au pluriel neutre latin mathematica (Cicéron), issu du pluriel grec τα μαθηματικ? (ta math?matiká), utilisé par Aristote, voulant précisément dire, toutes les choses mathématiques.^[1]

Toutefois, le singulier peut être employé (la mathématique) mais son sens est connoté. Dans le langage courant, le terme mathématiques est fréquemment apocopé en maths ; cette abréviation s'emploie toujours au pluriel en français.

Dans l'école pythagoricienne, les sciences quantitatives ou mathématiques étaient l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Elles furent regroupées par Boèce sous le nom de quadrivium à l'aube du Moyen-Âge.

Historique

Il est fort probable que l'homme a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Le premier objet reconnu attestant de compétences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère.^{[2] [3] [4]} Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels,... Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée de l'Indus. Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, ont fait preuve d'abstraction. Deux branches se sont distinguées, l'arithmétique et la géométrie. Ont été formalisées les notions de démonstration et de définition axiomatique des objets d'étude. Les Éléments d'Euclide^[5] relatent d'une partie des connaissances géométriques en Grèce au III^e siècle avant notre ère.

La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière de représentation des nombres^{[réf. nécessaire]}. Les travaux mathématiques se sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. Naquirent et se développèrent l'analyse combinatoire, l'analyse numérique, et l'algèbre polynomiale.

Durant la Renaissance européenne, une partie des textes arabes furent étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Le calcul algébrique se développe suite aux travaux de François Viète et René Descartes. Parallèlement, Newton et Leibniz redécouvrent le calcul infinitésimal, introduisant la notion de fluctante (vocable abandonné depuis). Au cours du XVIII^e siècle et du XIX^e siècle, les mathématiques connurent de forts développements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind.

Le XIX^e siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques^{[réf. nécessaire]}. Ce développement de l'axiomatique conduira le XX^e siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique.

Le XX^e siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation.

Mathématiques et philosophie

Par leur rapport particulier au réel, les mathématiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au réel conduit des philosophes des sciences à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employé par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme ; ce concept est repris dans le rationnalisme critique de Karl Popper sous le terme de réfutabilité. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la sémantique ^[6]. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des mathématiques.

Les mathématiques sont parfois surnommées reine des sciences. Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum ^[7] et le mot scientiarium signifie en réalité "des connaissances".

Pratique mathématiques

Activité de recherche

Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique de théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraie (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de difféomorphisme Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Langage mathématique

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété, peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie, itération, ... La pluralité de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ou le connecteur unaire de négation , d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel ou le quantificateur existentiel . La plupart des notations utilisées aujourd'hui ont été introduites après le dix-septième siècle seulement.

Soulignons pour terminer qu'il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage. Ce langage est la logique.

Fondements

Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer ceci. Tout d'abord, aucune démonstration mathématique ne suit réellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'énoncés mathématiques complexes en langage purement formalisé est impossible en temps raisonnable. Comme pour n'importe quelle sciences l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose donc in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques de Thomas Kuhn). Ainsi la confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient de façon primordiale dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXème siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy ^[8]. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

D'autre part, la solidité même des bases est sujette à caution. En effet Gödel a démontré au début du XX^e siècle son célèbre théorème d'incomplétude, qui implique grossièrement parlant qu'on ne pourra jamais réduire les bases des mathématiques en un système qui soit sûr, d'une part, et d'autre part, que quelle que soit les bases choisies, certaines propriétés resteront inaccessibles à la démonstration.

Domaines des mathématiques

À l'heure actuelle, l'étendue du champ des mathématiques vivantes, la diversité des thèmes abordés, et le foisonnement des connexions entre ces différents thèmes rendent difficile de donner un classement universel et cohérent des domaines particuliers de recherche. Le site arXiv^[9] (site de publications d'articles de recherche en mathématiques, physique et biologie) choisit de recenser 30 domaines différents, l'histoire des mathématiques mise à part.

Un premier découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. Certains mathématiciens se sont distingués en proposant des découpages personnels : Grothendieck, Yves Lafont, ... Ainsi, Grothendieck propose de séparer les mathématiques en géométrie, arithmétique et analyse ; il affirme ainsi que l'algèbre n'est pas un thème des mathématiques mais un formalisme, qui peut autant intervenir en géométrie (par exemple, l'algèbre commutative), en arithmétique (par exemple, la théorie des anneaux de Dedekind) ou en analyse (par exemple, l'algèbre bilinéaire pour la théorie de Fourier).

Mais de tels découpages ne sont pas évidents et les frontières séparantes sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles établi en 1994, fortement popularisé par la presse de vulgarisation, en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite des compétences d'analyse et de géométrie.

Quelques domaines de base

• L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures dites algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, de la théorie de Galois ou encore de la géométrie algébrique.

• En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

• La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace ambiant, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

• Les probabilités tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques.

Exemples de domaines transverses

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :

• La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant de méthodes analytiques, que de méthodes algébriques, avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
• La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie et de l'algèbre. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se definir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à reduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.

• En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations differentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométriques, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
• La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géometrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
• La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algébre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIXe siècle, avec notamment le théorème de Bézout : essentiellement, deux courbes décrites par des équations polynomiales de degrés respectifs n et m s'intersectent en au plus n.m points distincts. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.
• La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le fameux problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreux applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

Mathématiques appliquées et mathématiques pures

La distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées est parfois effectuée :

• Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. La recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique.
• Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique, ...), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur, " La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ".^{[réf. nécessaire]}

Les mathématiques appliquées en un sens mal défini comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Enseignement des mathématiques

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, mathématiques anti-racistes, éducation classique, ...). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique sont désignés par des institutions officielles.

Rapport des mathématiques avec les autres sciences

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques, ...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent réellement dans les modélisations.

Toutes les sciences dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle consiste en un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Mathématiques et physique

Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondus, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique après s'être différenciées ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :

• Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
• Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser d'avantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
• Cette modélisation au contraire nécessite des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'interessant à la diffusion de la chaleur dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier ; ... Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson, ...

Récemment, un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Mathématiques et informatique

L'essor des techniques au XX^e siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie, théorie des codes.

En retour, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité, la théorie de l'information, la théorie des graphes, ... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le problème P=NP^[10] en théorie de la complexité. Les chercheurs croient généralement que la réponse est non^[11].

Mathématiques et la biologie, la chimie et la géologie

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : la loi de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique, reléve de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est née : la biomathématique.

Dans les dernières années, la chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à de la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie et la planétologie sont grandes consommatrices de mathématiques car nécessitent des modélisations.

Rapport entre les mathématiques et les sciences humaines

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, ...).

Notamment, les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant a la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontiere des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Utilisation non scientifique des mathématiques

La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.

Les théories astrologiques occidentales se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont à ce jour pas été productifs et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Alan Sokal et Jean Bricmont dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.

L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population, ...) font appel à des connaissances mathématiques élémentaires. Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, sont sujet à polémique.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme Pierre Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

Ceci dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse "littéraire". Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées.

Impact culturel des mathématiques

Expression artistique

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale, sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples . Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Paris, 1722, réédité en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes. D'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même "distance sonore" appelée octave). D'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

On peut constater que l'on associe une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est l'ensemble . Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Perception des mathématiques par le grand public

Les mathématiques n'ont pas de définition sur quoi l'on s'accorde en général. Pour certains, elles sont ce qu'on leur a enseigné à l'école ou à l'université ; pour d'autres, elles sont tout ce que fait la communauté professionnelle occidentale des mathématiciens.^[12] Marcia Ascher.

Une perception commune de la vérité en général est de considérer le vrai et le faux comme des opposés qui auraient à peu près la même importance. Cette dualité peut-être représentée comme suit :

Image:Vrai50 faux50.svg

Dans cette manière de voir les choses, le vrai et le faux sont équiprobables. Si ce schéma peut convenir à la question de savoir si un nombre est pair ou impair, il en va autrement de la question de savoir par exemple si un nombre réel x vaut 2,4. Si x vaut 2,3 ce n'est pas très loin, mais x ne vaut pas tout à fait 2,4. Si x vaut 2 voire 1, il semble assez clair que l'égalité est fausse. Mais quelle que soit la différence, cela sera mathématiquement faux. Dans ce cas, on aurait donc plutôt le schéma suivant :

Image:Vrai1 faux99.svg

Si ce raisonnement s'applique aux mathématiques, il peut en fait s'appliquer à beaucoup de choses. Si on cherche à ne dire que des choses "mathématiquement vraies", c'est-à-dire tout à fait exactes, on se rend compte qu'on ne peut pas dire grand chose. Cette sévérité de la notion de vérité a tendance à donner une image austère des mathématiques au grand public. Le langage et les symboles pour le moins ésotériques ne sont pas là pour arranger les choses.

Cependant, la logique floue et l'intuition sont partie intégrante des mathématiques, elles sont même à la base de leur développement. Des mathématiques qui en sont dénuées sont sans grand intérêt et rebutent naturellement les élèves. Le formalisme mathématique est un phénomène assez récent venant d'une volonté d'universaliser le langage mathématique, si ce n'est pas de l'uniformiser.

Vulgarisation mathématique

La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques.

• Oh, les maths de Yakov Perelman.
• Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan.

Toutefois, notons que les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux télévisés.

Littérature et filmographie

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

Romans

• Plusieurs livres de Denis Guedj, dont:
  • Le Théorème du Perroquet
  • Zéro, ou les cinq vies d'Aémer

• Le démon des maths par Hans Magnus Enzensberger

Films

• Will Hunting,
• Un homme d'exception, film de Ron Howard (2001) avec Russell Crowe dans le rôle de John Forbes Nash, adapté du livre de Sylvia Nasar.
• Pi, film de Darren Aronofsky (1998)
• La preuve irréfutable, (2005) avec Anthony Hopkins et Gwyneth Paltrow.
• Cube et Cube 2

Séries télévisées

• Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.

Notes et références