Système décimal - Définition

Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.

Numérations décimales

Le système décimal est largement le plus répandu. Ainsi sont constituées, par exemple, les numérations :

Systèmes de notation

Les peuples ayant une base de numération décimale ont employé, au cours du temps, des techniques variées pour représenter les nombres. En voici quelques exemples.

• Avec des chiffres pour un, dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les puissances de dix sont de type additif. C'est le cas de la numération égyptienne. Exemple : 1506 s'écrit

en écriture hiéroglyphique (1000+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1).

• Avec des chiffres pour un, cinq, dix, cinquante, cent, cinq cents, etc.

De tels systèmes de numération sont aussi de type additif, mais font intervenir un système quinaire auxiliaire. C'est le cas des numérations attique, étrusque, romaine et tchouvache. Exemple : 2604 s'écrit MMDCIIII. en chiffres romains (1000+1000+500+100+1+1+1+1). La numération romaine connait également une variante additive et soustractive : 2604, de cette manière, s'écrit MMDCIV. (1000+1000+500+100-1+5).

• Avec des chiffres pour un, deux, ..., neuf, dix, vingt, ..., cent, deux cents, ..., neuf cents, etc.

Les systèmes de numération employant neuf chiffres pour les unités, ainsi que pour les dizaines, les centaines, etc. sont encore de type additif. C'est le cas des numérations arménienne, arabe alphabétique, gotique, grecque et hébraïque. Exemple : 704 s'écrit ψδ en chiffres grecs ioniques (700+4).

• Avec des chiffres de un à neuf, et pour dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités et les puissances de dix sont de type hybride. C'est le cas des numérations chinoise et japonaise. Exemple : 41007 s'écrit ???? dans le système japonais (4×10000+1000+7). Le système chinois utilise en plus le zéro pour indiquer des positions vides avant les unités : 41007, s'écrit ????? en chiffres chinois (4×10000+1000+0+7).

• Avec des chiffres de zéro à neuf

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités sont de type positionnel. C'est le cas des numérations arabe non-alphabétique, européenne, de la plupart des numérations indiennes et des numérations mongole et thaï. Exemple : 8002 s'écrit ???? en chiffres thaïs (8002).

Historique

La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimal a été mis au point par :

• v. -4000, les Élamites du plateau de Sumer,
• v. -3200, les Sumériens,
• v. -3000, les Akkadiens,
• v. -3900, les Proto-élamites en Mésopotamie (nouveau système de numération),
• v. -2700, les Égyptiens
• v. -2500, les Sémites de Mésopotamie
• v. -2350, l'ensemble des Mésopotamiens (la base 10 supplante la base 60)
• v. -2000, les Hittites et les Indusiens
• v. -1900, les Babyloniens
• v. -1500, les Assyriens
• v. -1350, les Chinois
• v. -650, les Étrusques
• v. -500, les Indusiens en sanskrit

Voir aussi : Écriture décimale positionnelle.

Bases combinées

Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :

• un système quinaire auxiliaire est utilisé dans certains systèmes de notation (voir plus haut) et pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme le wolof ;
• un système vigésimal auxiliaire est utilisé pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme en basque, ou " quatre-vingts " en français ;
• des bases mille et un million auxiliaires sont souvent utilisées pour l'énonciation des nombres dans les langues européennes, et une base mille dans l'écriture des grands nombres, afin d'en faciliter la lecture, comme, par exemple, 12 345 678, 12.345.678 ou 12,345,678, selon les pays ;
• en chinois et en japonais, une base dix mille auxiliaire est utilisée.

Certains autres systèmes utilisent un système décimal auxiliaire :

• la numération babylonienne et les systèmes de mesure du temps et des angles en minutes et secondes, sexagésimaux, utilisent un système décimal auxiliaire ;
• la numération maya, bien que vigésimale, laisse apparaitre un système décimal auxilaire dans l'énonciation des nombres.

Systèmes d'unités

En Chine les mesures de capacité et de poids sont décimalisées vers 170 av. J.-C. Aux États-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe, la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelle Louis XVI demande à l'Académie des Sciences de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division décimale.

Avantages et inconvénients

La base dix comporte quelques atouts :

• le compte sur les dix doigts est très intuitif ;
• elle est construite sur un nombre pair, et la division par deux est la plus courante ;
• son ordre de grandeur est satisfaisant, car il permet de réduire considérablement la longueur d'un grand nombre par rapport à une base deux, tout en conservant des tableaux d'additions et de multiplications mémorisables ;
• elle est la plus courante ;
• les normes internationales sont construites sur cette base.

Cependant, la base dix n'est pas celle qui offre le meilleur bénéfice, car elle ne s'appuie pas sur un nombre ayant des propriétés avantageuses :

• un nombre comportant beaucoup de diviseurs (ex. : 12 ou 60) aurait eu un aspect pratique, or dix n'en a que deux (2 et 5), et la division par cinq n'est pas la plus courante ;
• un nombre premier serait intéressant pour les mathématiques, car, dans une telle base, les nombres à virgule s'écriraient aisément sous forme de fraction irréductible, or dix n'est pas premier ;
• une puissance de deux serait adaptée à l'informatique, or dix n'est pas puissance de deux.

Mathématiques

Conversion en base N d'un nombre en base 10

Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante :

Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.

1. Effectuer la division entière de K par N. Soit D le résultat de cette division et R le reste
2. Si D >= N, recommencer en 1
3. Sinon, l'écriture en base N de K est égal à la concaténation du dernier résultat et de tous les restes en commençant par le dernier.

Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16

• 3257 = 203 × 16 + 9
• 203 = 12 × 16 + 11

Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est CB9.

Conversion en base 10 d'un nombre en base N

Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c×N ^r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.

Exemple
Le nombre " 10110 " en base 2 s'écrit en base 10 :

1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 22 (base 10)

Exemple
Le nombre " 3FA " en base 16 s'écrit en base 10 :

3×16² + 15×16¹ + 10×16⁰ = 1 018 (base 10)

Rappel : F en base seize vaut 15 en base dix, A en base seize vaut 10 en base dix.

Ressources bibliographiques

• Évolution des cultures de l'humanité
• Mesurer