Trajectoire parabolique
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Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.

La découverte de la trajectoire parabolique est attribuée à Galilée en 1638. Certains historiens des sciences pensent qu'il a été largement influencé par les artistes de son époque qui savaient représenter la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) des fontaines.[1]

Exemples

Lorsqu'on lance un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) en l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec...), hormis le cas où il a été lancé rigoureusement à la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) vers le haut, sa trajectoire est une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) que l'on peut assimiler à une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont...). Par exemple, le tir d'un boulet de canon ou d'une boule de pétanque décrit une trajectoire quasi-parabolique. Les comètes passent au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme...) du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est...) ou de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...) sur une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) " parabolique ". Si un avion (Un avion, selon la définition officielle de l'Organisation de l'aviation civile internationale (OACI), est un aéronef plus lourd que l'air, entraîné par un organe moteur (dans...) effectue une trajectoire parabolique (Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.), alors les passagers embarqué se trouvent en impesanteur (L'impesanteur est l'état d'un corps tel que l'ensemble des forces gravitationnelles et inertielles auxquelles il est soumis possède une résultante et un moment résultant nuls. L'impesanteur est donc le...).

Étude de la trajectoire d'un projectile

Le mouvement d'un objet soumis à un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu...) uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique (balistique).

On se place dans un référentiel R(O,x,y,z) galiléen contenant un champ de pesanteur uniforme \vec g = -g.\vec e_z. On se propose d'étudier la trajectoire d'un projectile M, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) m soumis initialement (à t=0) à une vitesse (On distingue :) \vec v_0.

Alors, le projectile est uniquement soumis à son propre poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) \vec P (on néglige les effets de frottements fluides). D'après la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...) loi de Newton, le principe fondamental de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), la somme des forces appliquées au système est égale à la masse du projectile mutlipliée par son accélération :

\sum \vec F = m.\vec a

Or ici le seule force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) appliquée est la pesanteur, d'où :

\vec P = m.\vec g = m.\vec a, ou encore : \vec g = \vec a.

Dans le cas d'une chute libre, l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est...) de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) objet, que l'on peut considérer comme ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.), a pour accélération, l'accélération de la pesanteur.

Rappel : l'accélération est définie comme la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de la vitesse, elle-même comme la dérivée au cours du temps du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) position. On a \overrightarrow{a_{M/R}} = \frac{\textrm{d}\overrightarrow{v_{M/R}}}{\textrm{d}t} = \frac{{\textrm{d}^2}\overrightarrow{OM}}{\textrm{d}t^2}

On obtient \vec a_{M/R} = g.\vec e_z.

En intégrant on obtient \vec v_{M/R} = (gt + v_0)\vec e_z.

En intégrant une seconde fois on obtient \overrightarrow{OM} = (\frac {1}{2} gt^2 + v_0 t)\vec e_z puisque à l'origine, le point (Graphie) M est en O, ou encore, en notation vectorielle \overrightarrow{OM} = \frac {1}{2} \vec g t^2 + \overrightarrow {v_0} t.

On obtient ainsi l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) du mouvement du point M au cours du temps.

Notes et références de l'article

  1. Le boulet de canon de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements des...)
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