Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans un référentiel non galiléen défini naturellement, à l'endroit où il se trouve, par un observateur terrestre.
Historique : Les académiciens de Florence avaient observé vers 1660 le déplacement du plan d'oscillation du pendule. Mais ils ignoraient la cause de ce déplacement. Le physicien français, au contraire, qu'il devait avoir lieu comme conséquence du mouvement de la terre. C'est en voyant une tige cylindrique fixée dans le prolongement de l'arbre d'un tour, osciller dans un plan fixe pendant la rotation de l'arbrequ'il conçut la possibilité de prouver la rotation de la terre au moyen du pendule.[1]
La première démonstration date de 1851, le pendule étant accroché à la voûte du Panthéon de Paris. L'intérêt du pendule imaginé et réalisé par Foucault, est qu'il met en évidence la rotation de la Terre par une expérience locale aisément reproductible et que l'on peut également déterminer en quelques heures, par mesure de la déviation au sol du plan d'oscillation, la latitude du lieu de l'expérience sans aucune observation astronomique extérieure.
Si l'on considère le plan déterminé par :
l'expérience met en évidence :
Cette expérience historique, répétée par la suite en de nombreux endroits, a permi de vérifier le bien-fondé des lois de Newton.
En 1851, les lachers du pendule avaient un certain cérémonial : le pendule était tendu par une corde qui faisait un aller-retour autour de la boule. On attendait la fin des oscillations du cable, puis on brûlait un des deux brins de la corde de sorte que le pendule soit libéré avec une vitesse nulle.
Aujourd'hui on trouve généralement un mécanisme magnétique qui permet d'entretenir le mouvement car en raison du frottement de l'air celui du Panthéon n'oscille que durant 6 heures.
L'expérience du pendule du Panthéon n'était pas suffisamment convaincante pour beaucoup de contemporains ce qui a poussé Foucault à inventer l'année suivante le gyroscope dont l'axe reste parallèle à une direction fixe par rapport aux astres et cela quelle que soit la latitude.
Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faibles pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.
Sans tenir compte de la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit : où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. A titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V0 selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est :
Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte de la force de Coriolis dont l'accélération s'écrit où est la vitesse du pendule, est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.
Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur a pour composantes dans le repère Oxyz . a pour composantes , de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes .
Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : .
En utilisant la notation complexe z = x + iy, le système à résoudre s'écrit :
Proposons une solution classique de la forme z(t) = ert, on en déduit que le complexe r doit vérifier l'équation du second degré : r2 + 2iΩsin(θ)r + ω2 = 0 qui s'écrit aussi :
En notant , les deux solutions de l'équation du second degré sont : et on peut alors en déduire que la solution générale du système est de la forme :
où c1 et c2 sont deux constantes, éventuellement complexes, qu'on peut déterminer par deux conditions initiales comme par exemple, la position du pendule et sa vitesse à la date t = 0 qui conduisent aux deux équations :
En remplaçant les expressions trouvées pour les deux constantes dans l'équation (1), on peut alors écrire une équation plus aisément interprétable :
Ainsi, si est nulle et z0 un réel pur, la trajectoire au sol du pendule dans un repère tournant selon une pulsation Ωsin(θ) est une ellipse parcourue en une période de .
Si est non nulle mais un imaginaire pur, le mouvement elliptique est pertubé par une oscillation perpendiculaire au plan principal d'oscillation et de même fréquence .
Examinons alors deux manières de lancer le pendule :
Si on met une caméra dans le plan d'oscillation du pendule, on obtient l'animation B où le référentiel terrestre tourne. On peut remarquer que le pendule n'oscille pas rigoureusement dans le plan mais de part et d'autre du plan selon l'ellipse décrite plus haut. La longueur du fil étant fixe, on calcule pour chaque projection au sol x(t),y(t) la hauteur correspondante h(t) du pendule par rapport au sol.
Il est également possible de voir le même pendule depuis le soleil, c’est-à-dire depuis une caméra fixe par rapport aux étoiles.
Le pendule de Foucault du Panthéon à Paris oscille sur notre vraie planète Terre avec une pulsation propre ω0 extrêmement proche celle du pendule simple ω (les 8 premiers chiffres sont identiques) puisque Ω est très petit devant ω. La période d'oscillation, vaut, si la longueur du fil fait 67 mètres, 16,42 secondes.
Le rapport du petit côté de l'ellipse sur le grand côté a pour expression et est très petit. Le pendule de Foucault oscille donc quasiment dans un plan qui tourne en raison de la rotation de la Terre. Mais le plan n'effectue un tour complet en 24 heures qu'aux pôles. A une latitude θ donnée, la période, , inversement proportionnelle au sinus de cette latitude, est plus longue. Le sinus de 30° valant 1/2, un pendule de Foucault implanté à une latitude de 30° effectuerait un tour complet en 48 heures. La durée d'une rotation complète d'un pendule de Foucault situé à une latitude autre que l'équateur permet ainsi de déterminer cette latitude indépendamment de tout autre mesure.
A la latitude nord de 48°52' du Panthéon à Paris, le plan tourne donc de -11°19' en une heure.
La Terre ne tournant pas uniquement sur elle-même, mais également autour du Soleil et d'autres astres l'influençant, la rotation du référentiel terrestre n'est pas de 24 heures par jour, mais de 23 heures 56 minutes par jour sidéral.
Nous avons ainsi représenté sur la figure ci-après les 3 premières oscillations après un lacher à vitesse nulle à une distance de 6 mètres à l'est du centre de la coupole du Panthéon. Etant donnée la faible déviation vers le nord par rapport au déplacement est-ouest du pendule durant ces trois premières oscillations, l'échelle de l'ordonnée (sud-nord) est multipliée par 1000 ce qui correspond à un déplacement en millimètre. La force de Coriolis, perpendiculaire au déplacement et proportionnelle à la vitesse, fait dévier le pendule de son plan d'oscillation initial vers le nord ; elle est maximale lorsque que la vitesse est maximale c’est-à-dire lorsque le pendule passe près du point d'équilibre, qu'il dépasse à 0,86 mm au nord (). Le pendule s'arrête au bout d'une demie période (donc 8,21 secondes) à l'opposé et a encore été dévié vers le nord. Au retour, le sens de la vitesse est inversé et la force de Coriolis fait déplacer le pendule vers le sud. Il passe à 0,86 mm au sud du point d'équilibre puis s'arrête à 5,4 mm au sud du point de lancement à la fin de la période d'oscillaton soit après 16,42 secondes. La vitesse du pendule par rapport à notre repère terrestre étant alors nulle, la force de Coriolis est donc nulle et le pendule repart dans la même direction en effectuant un point de rebroussement.
Le pendule de Foucault pose la question de la nature du repère qui sert de référence. En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. On ne peut pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. Ce cadre est un référentiel galiléen, mais comment ce référentiel est-il défini ? Plaçons le pendule Foucault au pôle. La Terre tourne par rapport à un repère galiléen selon l'axe terrestre avec la pulsation Ω. Le pendule tourne par rapport à la Terre avec une pulsation qui vaut au pôle − Ω, selon la verticale du lieu qui est également l'axe terrestre. Le pendule oscille donc dans un plan fixe par rapport à un repère galiléen.
Dans une première approximation, le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.
Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.
Si l'expérience pouvait être menée suffisamment longtemps en considérant comme référence les objets les plus lointains de l'univers, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière, on pourrait constater encore une infime dérive du plan d'oscillation.
Finalement, l'ultime recours serait de considérer comme référence le rayonnement de fond de l'univers . Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en fonction de l'Univers dans son ensemble, que nous pouvons définir un référentiel galiléen par rapport auquel le plan des oscillations est fixe.
Le pendule de Foucault se moque donc de la présence du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers entier. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier et Ernst Mach s'est posé la question de savoir quelle serait la Mécanique dans un Univers vide (voir Principe de Mach). Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.
La mise en évidence de la rotation terrestre par le pendule de Foucault est une expérience très délicate. Le plan d'oscillation du pendule tourne de quelques degrés par heure (maximum, 15° au Pôle). Plusieurs phénomènes risquent de masquer ce que l'on veut mettre en évidence :
-- A améliorer/vérifier...