Bruit blanc - Définition
Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.
On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données.
En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20Hz et 20kHz puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (en fait plutôt 25Hz-19kHz). L'impression obtenue est celle d'un souffle.
Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles
En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une énergie infinie). Il n'existe donc, comme dans l'exemple qui précède, que des bruits blancs limités à une bande de fréquences.
Cette notion de bruit blanc est intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.
Bruit blanc et simulations
Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S0 échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème de Shannon). Il possède donc une variance finie qui s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ2 = S0/2T.
Ce bruit blanc est considéré comme une réalisation d'un processus aléatoire décrit, outre sa densité spectrale, par une loi de probabilité (voir Variable aléatoire).
Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.
Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice
Φ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.
A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, σ2 étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :
En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :
A partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier, en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.