Bruit blanc
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Échantillon de bruit blanc
Échantillon de bruit blanc

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit un bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à la création d'une sensation auditive.) blanc (Le blanc est la couleur d'un corps chauffé à environ 5 000 °C (voir l'article Corps noir). C'est la sensation visuelle obtenue avec un spectre...) qui suit une loi normale de moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la...) et variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.).

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20Hz et 20kHz puisque l'oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle...) humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (en fait plutôt 25Hz-19kHz). L'impression obtenue est celle d'un souffle.

Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence; en ordonnée, l'intensité
Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par...); en ordonnée, l'intensité

Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles

En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est...) spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...), infinie (et donc une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) infinie). Il n'existe donc, comme dans l'exemple qui précède, que des bruits blancs limités à une bande de fréquences.

Cette notion de bruit blanc est intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...) d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

Bruit blanc et simulations

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S0 échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Shannon). Il possède donc une variance finie qui s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ2 = S0/2T.

Ce bruit blanc est considéré comme une réalisation d'un processus aléatoire décrit, outre sa densité spectrale, par une loi de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...) (voir Variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou...) aléatoire).

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) qui correspond à une densité de probabilité (En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f) uniforme sur un intervalle de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures...) unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice

X = AcosΦ

Φ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition (En probabilité, la fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel x associe) s'écrit, σ2 étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

a = \sigma \sqrt{-2 \ln r}

A partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir...), en la multipliant par la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le...) de la densité spectrale et en inversant la transformée.

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