Multiensemble - Définition et Explications

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Un multiensemble (parfois appelé sac) est une paire (A,m)A est un ensemble quelconque appelé support et m une fonction de A dans l'ensemble des entiers naturels, appelée multiplicité.

Un multiensemble (Un multiensemble (parfois appelé sac) est une paire (A,m) où A est un ensemble quelconque appelé support et m une fonction de A dans l'ensemble des entiers naturels, appelée multiplicité.) est dit fini si la somme des multiplicités des éléments de son support est finie.

Intuitivement, un tel objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) peut être vu comme un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) d'éléments de A où un élément peut apparaître plusieurs fois, en l'occurrence un élément x apparaîtra m(x) fois. Ceci justifie la notation informelle des multiensembles finis : {a,b,a,b,b,d} représente le multiensemble ({a,b,c,d},m)m est la fonction de telle que m(a) = 2, m(b) = 3, m(c) = 0 et m(d) = 1.

On peut également le voir comme une liste commutative, c'est-à-dire dont on peut permuter les éléments, autrement dit un monoïde commutatif libre.

Ordre multiensemble

Si on muni A d'un ordre >, il est possible de définir un ordre entre les multiensembles de support A que l'on appelle ordre multiensemble : (A,m) est strictement plus grand que (A,n) pour l'ordre multiensemble si

  • m\neq n et
  • pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) a \in A, si \,n(a) > m(a) alors il existe a' \in A tel que \,a' > a et \,m(a') > n(a').

Intuitivement, cela revient à dire qu'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) quelconque d'éléments de (A,n) peut être remplacé par un élément plus grand pour obtenir (A,m).

Exemple : si on ordonne les lettres dans l'ordre alphabétique (a < b < c < d), alors {a,a,c,d} est strictement plus petit que {b,d,d}.

Si on suppose que l'ordre sur A est bien fondé, alors l'ordre multiensemble ainsi défini l'est aussi. Cette propriété est parfois appelée " Hydre de Lerne " : on suppose que quand Hercule coupe une tête, un nombre quelconque (fini) de têtes peuvent repousser, mais elles sont toutes strictement plus petites. Alors on est sûr que Hercule viendra à bout de l'hydre.

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