Visualiser des univers géométriques en mathématiques

Publié par Adrien le 15/02/2020 à 08:00
Source: Université de Sherbrooke
"Travailler l'imaginaire est l'une des parties qui m'intéresse le plus dans ma recherche. Si on avait une géométrie qui n'est pas comme la géométrie plate de notre monde, qu'est-ce qu'on verrait, qu'est-ce qu'on vivrait, qu'est-ce qui se passerait si on s'y promenait ? C'est comme imaginer des univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) géométriques potentiels."

C'est ainsi que le professeur Jean-Philippe Burelle décrit comment il aborde ses recherches en mathématiques. Il s'intéresse aux visualisations et aux expériences par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des...), car celles-ci permettent d'explorer l'univers mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures...) avant de se lancer dans les démonstrations formelles, une philosophie inspirée par son directeur de thèse (Un chercheur qui supervise le travail d'un doctorant est appelé directeur de thèse (au féminin, directrice ou directeur).) de l'University of Maryland.


Courbe de Véronèse donnant l'illusion de la forme d'un coeurPhoto: Image de Pr Jean-Philippe Burelle

L'univers de Pac-Man

On comprend tous le fonctionnement de l'univers de Pac-Man: lorsque le personnage se déplace en ligne droite et franchit le bord de l'univers dans lequel il vit, il réapparaît de l'autre côté. C'est l'analogie qu'utilise Pr Burelle pour illustrer certains concepts: "Quand tu déplaces un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) dans un certain univers géométrique, tu ne le téléportes pas d'un endroit à un autre, tu le déplaces de manière continue.", partage-t-il. Dans le cadre de ses recherches, il étudie les interactions entre les symétries discrètes et continues d'univers géométriques complexes. Il est fascinant d'imaginer que, si Pac-Man regarde par en avant, il voit une copie de lui-même: il peut voir son propre dos (En anatomie, chez les animaux vertébrés parmi lesquels les humains, le dos est la partie du corps consistant en les vertèbres et les côtes. Les dorsaux étaient les muscles les plus sollicités par les...) parce que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de...) se déplace en ligne droite dans l'univers en question.

Et si Pac-Man franchissait la limite de son univers et se trouvait dans un univers parallèle (On nomme univers parallèle, ou monde parallèle un univers séparé du nôtre possédant ses propres dimensions d'espace et de temps.) identique au premier au lieu de réapparaître de l'autre côté ? Cela apporte deux façons d'étudier le même objet: "on peut étudier l'univers de Pac-Man en pensant plutôt au pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d'intérieur non...) du plan par des carrés, où chaque carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure....) est une copie identique de l'univers de Pac-Man. Dans ce cas, lorsqu'il franchit la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut...) de son univers, il continue tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) droit, mais une copie de lui-même le remplace à l'autre bout." Les recherches du Pr Burelle traitent de ces exemples, mais en dimensions supérieures aux groupes de symétrie plus complexes.

Le coeur, une illusion ?

Saviez-vous que le coeur apparaissant dans l'image en début de texte n'est qu'une illusion ? En effet, présents sur l'image ne sont que des cercles, et notre cerveau (Le cerveau est le principal organe du système nerveux central des animaux. Le cerveau traite les informations en provenance des sens, contrôle de...) reconstruit la forme d'un coeur ! Cette forme (la courbe de Véronèse) est présente, car tous les cercles sont osculateurs à la même courbe, c'est-à-dire qu'ils sont les meilleurs pour approximer la courbe autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) d'un point (Graphie) donné.

"Il y a plusieurs courbes de Véronèse, soit une dans chaque dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...), allant d'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) jusqu'à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...). Ce sont des courbes qui ont beaucoup de symétrie, plus de ce à quoi on s'attendrait." Par exemple, une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) a trois dimensions de symétrie, car on peut tourner autour de trois axes perpendiculaires. Le coeur a aussi trois dimensions de symétrie: "La différence est que ce ne sont pas des symétries perceptibles pour nos yeux à nous. Contrairement à des symétries euclidiennes à trois dimensions, celles de la courbe de Véronèse vivent dans le groupe symplectique, un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) de symétries à dix dimensions."

Cette session-ci, six étudiants au baccalauréat (Le baccalauréat (altération du bas-latin bachalariatus, désignant un rang de débutant d'abord dans la chevalerie, et puis dans la hiérarchie religieuse et universitaire ou de bacca...) en mathématiques se sont joints au Laboratoire de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. En science, il s'agit d'approches de recherche...) de l'Université de Sherbrooke (L'Université de Sherbrooke, fondée en 1954, est une université francophone située à Sherbrooke, Québec au Canada, dans la région de...) sous la supervision du Pr Burelle. Lors de leurs rencontres hebdomadaires, il leur montre comment programmer des images pour en faire des mathématiques de niveau de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...), ce qui est une opportunité unique pour les étudiants qui souhaitent poursuivre une carrière en recherche.

"Voir" les mathématiques pour optimiser le cycle de recherche

Les images mathématiques servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) avant tout aux chercheurs: "Grâce aux ordinateurs et aux puissances de calculs, on peut faire des dessins, comme l'image du coeur, qui ne seraient pas évidents à dessiner à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné à saisir et...)." Cela aide aux chercheurs à déterminer quelles propriétés sont satisfaites par quels objets, qu'on peut ensuite tenter de démontrer par un argument formel. "Avec les visualisations en mathématiques, il est plus facile de savoir quoi démontrer, et cela contribue à rendre le cycle de recherche plus efficace." Pour tout dire, il est impressionnant de voir de belles images produites grâce à des mathématiques avancées et comment celles-ci contribuent à voir les mathématiques sous un autre angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.).

Sur les recherches du professeur Jean-Philippe Burelle


Professeur Jean-Philippe BurellePhoto: Michel Caron - UdeS

C'est l'été dernier que le Département de mathématiques de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission...) de Sherbrooke accueille le Pr Burelle. Ses thèmes de recherche incluent les sous-groupes discrets des groupes de Lie, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de Teichmüller en rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire...) supérieur et les structures géométriques localement homogènes. La courbe de Véronèse et ses symétries permettent de construire des exemples intéressants de sous-groupes par déformation.
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