Une solution mathématique aux dimensions démesurées

Depuis 1887, lorsque le mathématicien norvégien Sophus Lie a découvert le groupe mathématique appelé E8, les chercheurs ont vainement essayé de comprendre cet objet extraordinairement complexe décrit par une matrice de nombres de plus de 400 000 lignes et colonnes. Mais c'est désormais chose faite: une équipe internationale d'experts utilisant de puissants ordinateurs et techniques de programmation a réussi à "décoder" E8, un exploit qui s'apparente au séquençage du génome humain, et qui devrait permettre des avancées dans un large éventail de problèmes en géométrie, en théorie des nombres et dans la physique de la théorie des cordes.


"Bien que le séquençage du génome humain soit d'une importance fondamentale en biologie, il ne fournit pas immédiatement un remède ou un traitement miracle contre le cancer", note le mathématicien Jeffrey Adams, leader du projet et professeur de mathématiques à l'université du Maryland. "Notre étude est similaire: c'est une recherche fondamentale critique, mais ses implications peuvent ne pas devenir notoires avant de nombreuses années."

Le "séquençage" de E8 fait partie d'un plus vaste projet (*) destiné à élucider tous les groupes de Lie (qui sont des descriptions mathématiques de symétrie pour les objets continus tels que les cônes, les sphères et leurs contreparties en dimensions supérieures à trois. Plusieurs de ces groupes sont bien compris) ; E8 est le plus complexe.

Les groupes de... quoi, hein ?

Il est assez facile de comprendre les symétries d'un carré, par exemple. Le groupe correspondant possède seulement deux éléments: les images miroir selon les diagonales et les images miroir qui résultent du partage en deux selon le centre de n'importe lequel de ses côtés. Les symétries forment un groupe dont les membres sont uniquement ces 2 degrés de liberté, ou dimensions.

La surface d'un objet symétrique continu comme une sphère est à deux dimensions, parce qu'il suffit de seulement deux coordonnées (la latitude et la longitude sur la Terre) pour définir une position. Mais dans l'espace, une sphère peut tourner selon trois axes (un axe des abscisses, un axe des ordonnées et un axe "des z"), et le groupe de symétries correspondant a trois dimensions.

Dans ce contexte, E8 défie l'imagination. Les symétries représentent un solide à 57 dimensions (il faut 57 coordonnées pour définir une position), et le groupe de symétries possède 248 dimensions.

Une collaboration entre des experts et une machine

En raison de sa taille et de sa complexité, le calcul de E8 a demandé environ 77 heures de travail à un superordinateur Sage et la création d'un fichier de 60 gigaoctets. En comparaison, le génome humain n'occupe qu'un gigaoctet. Tâche plus difficile, l'ordinateur devait avoir accès continuellement à des dizaines de gigaoctets de données dans sa mémoire vive (la RAM), ce qui est très éloigné encore des capacités des ordinateurs domestiques et même de celles des superordinateurs jusqu'à récemment.

Les calculs eux-mêmes étaient très sophistiqués et ont nécessité toute la science d'experts en divers domaines, capables de développer de nouvelles techniques mathématiques et de nouvelles méthodes de programmation.

Et malgré de nombreux "crashs" de l'ordinateur, à la fois pour des problèmes logiciels et matériels, le matin du 8 janvier 2007 le calcul d'E8 s'est achevé.

Quelques chiffres

Le résultat du calcul de E8 est une matrice de 453 060 lignes sur autant de colonnes.

Il y a 205 263 363 600 entrées dans cette matrice, chacune d'elle étant un polynôme. La plus grande entrée est celle-ci:



La valeur de ce polynôme pour q = 1 est 60 779 787.

Il y a 1 181 642 979 polynômes distincts dans la matrice et 13 721 641 221 coefficients dans ceux-ci. Le plus grand coefficient est 11 808 808.


(*) Projet soutenu par la NSF (National Science Foundation) via l'IAA (American Institute of Mathematics).

Légende de l'illustration:
Système de 240 vecteurs racines dans un espace à 8 dimensions. Ces vecteurs sont les sommets d'un objet à 8 dimensions appelé le polytope 421 de Gosset. Dans les années 60, Peter McMullen en a dessiné à la main une représentation à deux dimensions. L'image présentée ici est basée sur le schéma de McMullen et a été réalisée sur ordinateur par John Stembridge de l'Université du Michigan.
Les droites joignent des sommets adjacents dans le polytope, les couleurs reflètent la longueur de la projection à deux dimensions. Comme cette illustration est une projection à deux dimensions d'un objet à 8 dimensions, elle ne représente qu'une partie des symétries du polytope de Gossett.
L'algèbre de Lie E8 est à 248 dimensions: les 8 dimensions spatiales représentées ici plus une dimension pour chacun des 240 vecteurs racines.