Une sculpture qui révèle la quatrième dimension

Les œuvres d'art portent souvent en elles une signification qui va au delà de leur beauté plastique, mais une nouvelle sculpture exposée dans les locaux du Penn State Department of Mathematics pousse cette tradition à ses limites.


L'œuvre, en acier inoxydable, est à la fois un portail mental sur la quatrième dimension et un outil d'enseignement. La sculpture elle-même mesure presque deux mètres dans chaque sens et est montée sur une base de granit d'environ un mètre de haut afin de porter son centre approximativement à la hauteur de l'oeil. Conçue par Adrian Ocneanu, professeur de mathématiques au Penn State, elle représente l'"ombre" tridimensionnelle d'un objet solide à quatre dimensions.

Les recherches d'Ocneanu concernent les modèles mathématiques de la théorie des champs quantiques basée sur la symétrie. Un aspect de son travail est de modéliser des solides réguliers, à la fois mathématiquement et physiquement.

Dans notre monde tridimensionnel, il n'existe que cinq polyèdres réguliers - le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre, et l'icosaèdre - dont les faces se composent de triangles équilatéraux, de carrés ou de pentagones réguliers. En dimension quatre, il existe six solides réguliers, qui peuvent être construits sur la base des symétries des solides tridimensionnels. Malheureusement, notre cerveau ne peut pas directement traiter l'information en quatre dimensions parce que nous ne percevons pas l'univers de cette façon. Bien que les mathématiciens puissent travailler avec une quatrième dimension de manière abstraite en ajoutant une quatrième coordonnée aux trois que nous utilisons pour décrire un point dans l'espace, il est difficile de visualiser une quatrième dimension spatiale. Pour cela, des modèles et des analogies sont nécessaires.

De la même manière que la Terre qui est un objet tridimensionnel, dont la surface peut être représentée sur une carte bidimensionnelle plate, la sculpture d'Ocneanu "cartographie" un solide quadridimensionnel dans un espace sensible à l'observateur humain. Son procédé, la stéréographie radiale, est une nouvelle façon d'effecteur cette projection.

"Si nous plaçons une ampoule au pôle Nord de la Terre et que nous projetons sur une feuille de papier située sous elle," explique Ocneanu, "l'hémisphère Sud, loin du pôle Nord, sera très petit, alors que l'hémisphère Nord, près du pôle de projection, deviendra très grand avec le pôle Nord lui-même renvoyé à l'infini".

La technique peut être employée pour faire une projection bidimensionnelle d'un cube en traçant d'abord le cube radialement sur la surface d'un globe. Ocneanu explique: "les bords de notre cube deviennent des cercles sur la carte, de la même façon que les routes droites sont légèrement recourbées sur une carte de la Terre. Ses angles, cependant, restent exacts dans cette projection, ainsi la carte qui maintient les aspects principaux de la symétrie du cube original, à la différence d'une simple photographie".

Quand la même technique est appliquée pour projeter un solide quadridimensionnel en trois dimensions, les formes de la partie interne de la projection, équivalente au pôle Sud sur la carte, sont plus petites, moins déformées, alors que la partie externe se prolonge à l'infini. Les bords linéaires du solide deviennent des cercles dans la projection.

Cependant, la projection est isogone, ce qui signifie que les angles entre les faces et la manière dont les faces se rencontrent dans les coins sont uniformes pour toute la projection. La conservation de ces caractéristiques principales fait de cette sculpture un outil d'enseignement puissant en plus d'un objet esthétique.


Le sujet de la projection est un solide régulier de dimension 4 de complexité moyenne, qu'Ocneanu appelle un "octacube". Il a 24 sommets, 96 cotés et 96 faces triangulaires, qui renferment 24 "volumes" tridimensionnels. Des fenêtres découpées dans les faces permettent au spectateur de voir l'intérieur de la structure, de la même manière qu'une fenêtre dans une salle cubique s'ouvre sur l'intérieur du cube. Physiquement, la sculpture est un puzzle géant de 96 morceaux triangulaires en acier inoxydable de forme sphérique.

La sculpture possède des significations dans plusieurs domaines des mathématiques liés à l'étude de la symétrie, et elle peut représenter des structures qui sont fondamentales dans beaucoup de branches des mathématiques et de la physique.